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今天介绍一个小游戏。是一个人玩的游戏，可以用黑白围棋子来玩儿。但写出来，我就用A和B来代替黑白棋子。先介绍玩法，过程，然后推广到一般情况。

初始状态：

要求最终A与B对调，规则是：A只许朝右走；若A右侧是空位，可以走入空位；若A右侧不是空位但右侧的右侧是空位，则A可以跳到空位。B走动的规则除方向外其他与A的走法相同。

很显然，第一步可以是三个A中右侧的A向右移入空位，或中间的跳入空位。但跳入的走法不可取，因为之后就进展不下去了。

由于A与B的左右对称性，我们可以只考虑第一步A先走的情况。

所以，第1步之后的状况是：

接下来，只能是三个B中左侧的B向左跳入空位，所以第2步之后的状况是：

然后怎么走？可以把左起第4位（规定从左至右的方格编号为第1、2、3、4、5、6、7位）的A右移到空位中（如下图中上边状况所示），但之后或者第6位的B跳入空位，或者第2位的A跳入空位，但这两种情况之后就没有法子走了（AA和BB并排紧挨着，动弹不了，红框所示），如下图中并排的两种情况所示：

所以第3步不能是第4位的A向右移到空位中。所以，第3步只能是第6位的B向左移进入空位，如下图所示：

显然，下一步即第4步只能是第4位的A向右跳入空位中（因为若第7位的B左移到空位中，就堵死了，没有后续走法了）。所以第4步之后的状况是：

观察上图。若第5位的B左移入空位，则左边四个位中为“AABB”，导致其中的AA动弹不得，所以，这种走法不可取。所以，下一步也就是第5步只能是第2位的A跳入空位中，结果如下：

接下来怎么走？可以第1位的A向右移到空位中，也可以第3位的B向左移到空位中。后者不可取，因为之后的路走不通。为什么走不通，我们仔细分析一下。

上图中红框中的双A和双B都把路堵死了。所以，我们只能把第5步之后的状况中的第1位的A向右移到空位中，所以说，得到第6步后的结果如下：

下面的三步分别是：三个B依次向左跳入空位中，所以第7步、第8步、第9步之后的结果分别是：

接下来的第10步、第11步、第12步都很简单，结果分别如下：

接下来是第13步、第14步、第15步。第15步后便最终完全任务：

一共15步完全任务，并且，这15步的走法（对第一步走A的情况）都是唯一的。

拓展：如果是左侧有连续的m个“A”，右侧有连续的n个“B”，两者之间仍然是有一个空位，那么，是不是可以做到A整体移到右侧，而B整体移到左侧呢？移动方法是否唯一？若唯一，移动步数是多少？

答案是：可以做到，且移动方法唯一。这个结论不难得出，因为A和B都总是朝着目标方向移动，不允许后退，所以，每一次移动或跳动都是有效的。每个A一定都是向右侧移动了n+1格（先不管是移动到紧挨着的空位中还是跳跃到隔着的空位中），所以m个“A”总共移动了m×(n+1)格；而每个B都是向左侧移动了m+1格，所以n个“B”总共移动了n×(m+1)格。假如说每一次移动都是移动一格，则总步数就是m×(n+1)+n×(m+1)格。但因为所有A都最终挪到了所有B的右侧，而所有B当然也都最终挪到了A的左侧，所以跳跃是不可避免的。并且一定会有不多不少正好m×n次跳跃来完成挪移。这些跳跃都是“一步并作两步”，那么，非跳跃移动（单步）的次数（步数）就是

[m×(n+1)+n×(m+1)] - 2m×n=m+n

再反过来加上跳步m×n步，所以，实际上总的步数就是

m+n+m×n

也可以这样思考：从m×(n+1)+n×(m+1)步（格）中减去“一步并作两步”中多走的n×m格，也可以得到最终结果为：

m×(n+1)+n×(m+1) - m×n

=m×n+m+n

举个例子，左侧有4个“A”，右侧有5个“B”，则把4个“A”全部移动到右侧，把5个“B”全部移动到左侧，一共要挪动4×5+4+5=29步，其中包含“单步”9步，“跳步”20步。

对刚才那个例子，m=3，n=3。所以应该有3+3=6步是单步；有3×3=9步是跳步。您可以从下面的步骤图中数一数是不是这样。（空位移动一位就是单步移动，这里是6个单步；空位移动两位就是跳步，这里是9个跳步。）

注意，上图中，空位走的是“蛇”形。跳步步数（红字所示）分成5组，每组的步数分别为：1，2，3，2，1，它前后对称（两边都是1）。每组跳步之间由单步隔开，且两头都是单步，于是有6个单步。这6个单步的“6”就是3+3（即m+n)，而跳步组数为（m+n-1）。所以，我们可以预测3个“A”和4个“B”的情形，这时的m=3，n=4，所以有6（即m+n-1）个跳步组：1，2，3，3，2，1（注意对称性，只可能是这样），这6个组的步数即跳步步数之和等于12；单步步数为m+n=7。所以总步数为12+7=19。

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